stolz 定理也叫斯托尔茨定理，是数列求极限的核心工具，它的推论主要是基于 stolz 主定理延伸出来的常用结论，最常考的就是算术平均推论、加权平均推论，还有可以用来推导数列极限的重要结论，很多高数考研学生学习 stolz 定理的时候，只会背主定理，不知道推论，做题的时候计算量会很大，stolz 定理本质是数列版本的洛必达法则，处理分式型数列极限，尤其是 n 项和或者递推数列极限非常好用，推论就是把主定理直接套用在平均形式上，省去重复证明，考试可以直接使用，但是要记住推论成立是有前提条件，不是所有数列都能直接套，不满足条件强行套用会出错。
stolz 主定理回顾
{yn}严格单调递增，并且yn→+∞，如果n→∞limyn+1−ynxn+1−xn=A，这里 A 可以是有限数，也可以是正无穷负无穷，那么n→∞limynxn=A。
stolz 定理核心推论清单
- 算术平均推论
- 加权平均推论
- 几何平均推论
- 比值型推论延伸
若n→∞liman=A，那么n→∞limna1+a2+⋯+an=A
这个是最经典推论，令xn=a1+a2+⋯+an，yn=n，y_n 严格递增趋向无穷，直接套用 stolz 主定理就能证明。
若n→∞liman=A，pk>0，并且k=1∑npk→+∞，则n→∞limp1+p2+⋯+pnp1a1+p2a2+⋯+pnan=A
属于算术平均的推广，权重全部为正数，分母权重和趋向无穷。
若n→∞liman=A>0，那么n→∞limna1a2⋯an=A
证明思路是两边取对数，转化成算术平均推论的形式，再用指数还原，是考研高频推论。
如果n→∞limanan+1=A，an>0，那么n→∞limnan=A
这个也是由 stolz 推论结合对数变换得到，是数列根值极限常用结论。
使用 stolz 定理推论解题步骤
第一步，观察极限形式，判断是不是平均、开 n 次方根这类结构，匹配对应的 stolz 定理推论。
第二步，检查前提条件，确认数列极限、单调性、趋向无穷这些条件是否全部满足。
第三步，套用推论直接写出极限结果，如果题目要求证明，就要回到 stolz 主定理完成证明过程。
第四步，注意特殊情况，如果极限 A 是无穷大，推论同样成立，但是如果条件不满足，推论结论不一定成立，不能硬套。
补充注意事项
stolz 定理推论只是充分条件，不是充要条件，也就是说推论条件满足极限一定等于 A，但是反过来极限等于 A，不能反推前面数列极限一定是 A，这点选择题经常挖坑。stolz 主定理只针对数列，不能直接用到函数极限，函数对应的是洛必达法则。很多教材里面几何平均推论，有的版本是单独推导，但是底层原理依然来自 stolz 定理。
相关 FAQ
问题 1，stolz 定理推论里面算术平均推论成立前提是什么
回答 1，stolz 定理推论里面算术平均推论前提是数列 a_n 极限等于 A，A 可以有限或者无穷，满足之后前 n 项平均值极限就等于 A。
问题 2，stolz 定理推论里面几何平均推论为什么要求 a_n 大于 0
回答 2，stolz 定理推论里面几何平均推论要取对数，负数不能开 n 次方根，所以要求 a_n 大于 0，才能转化成 stolz 算术平均推论证明。
问题 3，stolz 定理推论是充要条件吗
回答 3，stolz 定理推论属于充分条件，不是充要条件，满足条件可以推出极限，但是极限存在不能反向推出原数列极限一定存在。
问题 4，stolz 定理推论可以直接用于考研大题吗
回答 4，stolz 定理推论在考研大题里面，如果题目没有禁止，推荐最好写出证明，或者写明由 stolz 定理推论得到，稳妥写法是回到主定理证明，避免阅卷扣分。
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本文内容仅为 stolz 定理推论高数学习科普，不同教材表述细节略有差异，考试请以指定教材和考纲要求为准，本文不替代课堂教学，学习使用风险自行承担。