问等比数列和等差数列所有公式

【等比数列和等差数列所有公式】在数学中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型，它们在数列求和、通项计算等方面有着广泛的应用。为了帮助大家更好地理解和掌握这两种数列的相关公式，本文将对它们的通项公式、前n项和公式以及相关性质进行系统总结。

一、等差数列（Arithmetic Sequence）

等差数列是指每一项与前一项的差为一个常数的数列，这个常数称为公差，记作 d。

1. 通项公式

若首项为 $ a_1 $，公差为 $ d $，则第 $ n $ 项为：

$$

a_n = a_1 + (n - 1)d

$$

2. 前n项和公式

等差数列的前 $ n $ 项和为：

$$

S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d

$$

3. 其他性质

- 若 $ m + n = p + q $，则 $ a_m + a_n = a_p + a_q $

- 若数列中连续若干项的和相等，则该数列为等差数列

二、等比数列（Geometric Sequence）

等比数列是指每一项与前一项的比为一个常数的数列，这个常数称为公比，记作 r。

1. 通项公式

若首项为 $ a_1 $，公比为 $ r $，则第 $ n $ 项为：

$$

a_n = a_1 \cdot r^{n - 1}

$$

2. 前n项和公式

等比数列的前 $ n $ 项和为：

$$

S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad (r \neq 1)

$$

当 $ r < 1 $ 时，无穷等比数列的和为：

$$

S = \frac{a_1}{1 - r}

$$

3. 其他性质

- 若 $ m + n = p + q $，则 $ a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q $

- 当公比为1时，等比数列为常数列，此时 $ S_n = n \cdot a_1 $

三、总结表格

通过以上内容的整理，我们可以清晰地看到等差数列和等比数列在结构、通项和求和上的异同。掌握这些公式不仅有助于解题，还能提升我们对数列规律的理解能力。希望这份总结能够为大家的学习提供帮助。