【等比数列公式】等比数列是数学中常见的一种数列，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，这个常数称为公比。等比数列在数学、物理、经济等多个领域都有广泛应用。为了帮助读者更好地理解和掌握等比数列的相关公式，本文将对等比数列的基本概念和常用公式进行总结，并以表格形式展示。
一、基本概念
- 等比数列：一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，这样的数列叫做等比数列。
- 首项（a₁）：数列的第一个数。
- 公比（r）：相邻两项的比值，即 $ r = \frac{a_{n}}{a_{n-1}} $。
- 项数（n）：数列中包含的项的数量。
- 第n项（aₙ）：数列中第n个位置上的数。
二、等比数列的公式总结
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 | ||
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | 计算数列中第n项的值 | ||
| 前n项和公式 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（当 $ r \neq 1 $） | 当公比不等于1时，计算前n项的和 | ||
| 无穷等比数列和 | $ S = \frac{a_1}{1 - r} $（当 $ | r | < 1 $） | 当公比绝对值小于1时，求无限项的和 |
| 等比中项公式 | $ b = \sqrt{a \cdot c} $ | 若a, b, c成等比数列，则b为a与c的等比中项 |
三、示例说明
假设有一个等比数列：2, 6, 18, 54, 162...
- 首项 $ a_1 = 2 $
- 公比 $ r = 3 $
- 第5项：$ a_5 = 2 \cdot 3^{4} = 162 $
- 前3项和：$ S_3 = 2 + 6 + 18 = 26 $
- 用公式计算：$ S_3 = 2 \cdot \frac{1 - 3^3}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{-26}{-2} = 26 $
四、注意事项
- 如果公比 $ r = 1 $，则所有项都相等，此时前n项和为 $ S_n = n \cdot a_1 $。
- 若公比 $ r > 1 $，数列会迅速增长；若 $ 0 < r < 1 $，数列会逐渐趋近于0。
- 在实际应用中，需注意数列是否为有限或无限，选择合适的公式进行计算。
通过以上内容可以看出，等比数列的公式虽然简单，但应用广泛。掌握这些公式有助于解决实际问题，如复利计算、放射性衰变、几何增长等问题。希望本文能帮助你更好地理解等比数列的相关知识。