【等比数列和等差数列公式】在数学中，数列是按照一定规律排列的一组数。其中，等差数列和等比数列是最常见的两种数列类型，它们在实际问题中有着广泛的应用。本文将对这两种数列的基本概念、通项公式以及求和公式进行总结，并以表格形式清晰展示。
一、等差数列
定义：如果一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的差是一个常数，那么这个数列称为等差数列。
- 公差：通常用 $ d $ 表示，即 $ a_{n} - a_{n-1} = d $
- 首项：第一项，记作 $ a_1 $
通项公式：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
前 n 项和公式：
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d
$$
二、等比数列
定义：如果一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的比是一个常数，那么这个数列称为等比数列。
- 公比：通常用 $ r $ 表示，即 $ \frac{a_n}{a_{n-1}} = r $
- 首项：第一项，记作 $ a_1 $
通项公式：
$$
a_n = a_1 \cdot r^{n - 1}
$$
前 n 项和公式（当 $ r \neq 1 $）：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}
$$
三、对比总结
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 |
| 定义 | 每一项与前一项的差为常数 | 每一项与前一项的比为常数 |
| 公差 $ d $ | $ d = a_n - a_{n-1} $ | 无公差，有公比 |
| 公比 $ r $ | 无公比 | $ r = \frac{a_n}{a_{n-1}} $ |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^{n - 1} $ |
| 前 n 项和 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ |
四、小结
等差数列和等比数列是数列中的基本模型，分别适用于线性增长和指数增长的问题。掌握它们的通项公式和求和公式，有助于解决实际生活和数学问题。无论是计算工资增长、存款利息，还是分析生物种群增长，这些公式都具有重要的应用价值。