【基础解系怎么求出来的】在高等代数中，线性方程组的解空间是一个重要的概念。对于齐次线性方程组，其所有解构成一个向量空间，这个空间的一组基称为该方程组的基础解系。掌握如何求出基础解系，是理解线性方程组解结构的关键。
一、基础解系的概念
基础解系是指齐次线性方程组的所有解所组成的向量空间的一组极大线性无关组。也就是说，它是由一组向量构成的集合，这些向量可以线性表示该方程组的所有解，并且它们之间相互独立。
二、求基础解系的步骤总结
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 将齐次线性方程组写成矩阵形式：$ A\mathbf{x} = \mathbf{0} $ |
| 2 | 对系数矩阵 $ A $ 进行初等行变换，化为行最简形矩阵 |
| 3 | 确定主变量（即含有主元的变量）和自由变量（未被主元控制的变量） |
| 4 | 将自由变量分别设为参数（如 $ t_1, t_2, \dots $） |
| 5 | 用主变量表示自由变量，得到通解表达式 |
| 6 | 分别令每个自由变量为1，其余为0，得到对应的特解 |
| 7 | 所有这些特解构成一组线性无关的向量，即为基础解系 |
三、举例说明
考虑如下齐次方程组：
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 - x_3 = 0 \\
2x_1 + 2x_2 - 2x_3 = 0 \\
x_1 + x_2 - x_3 = 0
\end{cases}
$$
其系数矩阵为：
$$
A =
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 \\
2 & 2 & -2 \\
1 & 1 & -1
\end{bmatrix}
$$
对 $ A $ 进行行变换，得到简化矩阵：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$
主变量为 $ x_1 $，自由变量为 $ x_2 $ 和 $ x_3 $。
令 $ x_2 = t_1 $，$ x_3 = t_2 $，则：
$$
x_1 = -x_2 + x_3 = -t_1 + t_2
$$
通解为：
$$
\mathbf{x} = t_1 \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}
$$
因此，基础解系为：
$$
\left\{ \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}
$$
四、注意事项
- 基础解系中的向量个数等于自由变量的个数。
- 基础解系不唯一，但任意两个基础解系都等价。
- 求解过程中要注意行变换的正确性，避免引入错误。
通过以上步骤和示例，我们可以清晰地了解如何求出一个齐次线性方程组的基础解系。掌握这一方法，有助于进一步分析线性方程组的解结构及其几何意义。