【线性相关系数r公式】在线性统计分析中，线性相关系数（通常用符号 r 表示）是衡量两个变量之间线性关系强度和方向的常用指标。它广泛应用于数据分析、经济模型、社会科学等领域，用于判断两个变量是否具有线性相关性。
一、线性相关系数r的定义
线性相关系数 r 是一个介于 -1 和 1 之间的数值，其值越接近 1 或 -1，表示两个变量之间的线性关系越强；接近 0 则表示相关性较弱或无明显线性关系。
- r = 1：完全正相关
- r = -1：完全负相关
- r = 0：无线性相关
二、线性相关系数r的计算公式
线性相关系数 r 的计算公式如下：
$$
r = \frac{n\sum xy - (\sum x)(\sum y)}{\sqrt{[n\sum x^2 - (\sum x)^2][n\sum y^2 - (\sum y)^2]}}
$$
其中：
- $ n $：数据对的数量
- $ x $：自变量
- $ y $：因变量
- $ \sum x $：x 值的总和
- $ \sum y $：y 值的总和
- $ \sum xy $：x 与 y 对应乘积的总和
- $ \sum x^2 $：x 值平方的总和
- $ \sum y^2 $：y 值平方的总和
三、线性相关系数r的意义
| r 值范围 | 相关性强弱 | 意义说明 |
| 0.8 ~ 1.0 | 极强正相关 | 变量间存在高度正相关关系 |
| 0.6 ~ 0.8 | 强正相关 | 变量间存在较强正相关关系 |
| 0.4 ~ 0.6 | 中等正相关 | 变量间有一定正相关关系 |
| 0.2 ~ 0.4 | 弱正相关 | 变量间有轻微正相关关系 |
| 0.0 ~ 0.2 | 无明显相关 | 变量间几乎无线性关系 |
| -0.2 ~ 0.0 | 无明显相关 | 变量间几乎无线性关系 |
| -0.4 ~ -0.2 | 弱负相关 | 变量间有轻微负相关关系 |
| -0.6 ~ -0.4 | 中等负相关 | 变量间有一定负相关关系 |
| -0.8 ~ -1.0 | 强负相关 | 变量间存在较强负相关关系 |
四、注意事项
1. 线性相关系数 r 仅反映两个变量之间的线性关系，不能说明因果关系。
2. 若数据中存在异常值，可能会影响 r 的准确性。
3. 当数据分布不呈线性时，r 可能无法准确反映实际关系。
4. r 的取值范围为 [-1, 1]，但具体解释需结合实际数据背景。
五、总结
线性相关系数 r 是衡量两个变量之间线性关系的重要工具。通过计算公式可以得出具体的数值，并结合表格中的标准进行判断。在实际应用中，应结合数据特征和背景知识，避免误读相关系数的含义。
表：线性相关系数 r 的意义对照表
| r 值 | 相关性类型 | 说明 |
| 1 | 完全正相关 | 两变量变化方向一致 |
| 0.8~1 | 强正相关 | 变量间高度相关 |
| 0.5~0.8 | 中等正相关 | 变量间有一定相关性 |
| 0.3~0.5 | 弱正相关 | 变量间相关性较低 |
| 0 | 无线性相关 | 无明显线性关系 |
| -0.3~-0.5 | 弱负相关 | 变量间略有反向关系 |
| -0.5~-0.8 | 中等负相关 | 变量间有一定反向关系 |
| -0.8~-1 | 强负相关 | 变量间高度反向相关 |
| -1 | 完全负相关 | 两变量变化方向相反 |