核心重点：ex2 的原函数不能用初等函数表示，也就是不能写成多项式、三角函数、指数对数组合的普通表达式，普通不定积分积不出来，但是定积分如果是从 −∞ 到 +∞ 的高斯积分，可以算出确定结果，这是高数概率论非常经典考点，很多同学误以为可以像 ex 一样直接积出来，这是最容易踩坑的地方。
注意区分两个容易混淆的：
✅ e−x2 高斯积分（负号！这个是考试最常考）
❌ ex2 正号，无穷限定积分是发散的
一、经典高斯积分（带负号，考试高频）
∫−∞+∞e−x2dx=π
推导方法：二重积分极坐标法
令 I=∫−∞+∞e−x2dx
I2=∫−∞+∞∫−∞+∞e−(x2+y2)dxdy
转换成极坐标 x=rcosθ, y=rsinθ，dxdy=rdrdθ
I2=∫02π∫0+∞e−r2⋅rdrdθ=π
所以 I=π
拓展区间：
∫0+∞e−x2dx=2π
二、ex2 正号情况
∫ex2dx 原函数是非初等函数，要用虚误差函数 erfi 表示：
∫ex2dx=2πerfi(x)+C
如果是 ∫−∞+∞ex2dx，当 x→∞，ex2 趋向无穷大，积分发散，没有有限值
三、有限区间定积分怎么处理
如果题目是有限上下限 ∫abex2dx，因为没有初等原函数，一般三种办法：
- 泰勒级数展开逐项积分
- 数值积分（数值逼近，梯形法、辛普森法）
- 借助误差函数 erfi 查表计算
ex2=1+x2+2!x4+3!x6+…，逐项积分得到级数数值解
对照表
| 积分 | 是否收敛 | 结果 |
|---|---|---|
| ∫−∞+∞e−x2dx | 收敛 | π |
| ∫0+∞e−x2dx | 收敛 | 2π |
| ∫−∞+∞ex2dx | 发散 | 不存在有限值 |
| ∫abex2dx | 收敛 | 只能级数 / 数值 /erfi 函数 |
实操步骤
第一步 先看指数是 ex2 还是 e−x2，有没有负号，这是关键
第二步 如果是 e−x2 无穷区间，直接套用高斯积分结论
第三步 如果是正号 ex2，不要尝试找初等原函数，判断是有限区间还是无穷区间
第四步 有限区间就用级数展开或者数值积分计算
FAQ
问题 1 e 的 x 平方次方的定积分怎么求，为什么不能直接求原函数
回答 1 e 的 x 平方次方的定积分这个考点，ex2 属于刘维尔定理证明的不可积初等函数，没有初等原函数，所以不能像普通指数函数直接求原函数代入上下限。
问题 2 e 的 x 平方次方的定积分怎么求，考试是不是经常考 e−x2
回答 2 e 的 x 平方次方的定积分这个知识点，考试绝大多数是带负号的高斯积分 e−x2，结果是根号 π，概率论正态分布里面会反复用到这个积分。
问题 3 e 的 x 平方次方的定积分怎么求，erfi 是什么函数
回答 3 e 的 x 平方次方的定积分这个问题，erfi 叫做虚误差函数，是专门用来表达 ex2 积分的特殊函数，不属于初等函数，本科普通高数一般不要求记忆它的性质。
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