【求导公式运算法则】在微积分的学习中，求导是基础且重要的内容之一。掌握常见的求导公式和运算法则是解决复杂函数求导问题的关键。本文将对常用的求导公式及运算法则进行总结，并以表格形式清晰展示。
一、基本求导公式
以下是一些常见函数的导数公式：
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \log_a x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、求导运算法则
在处理复合函数或多个函数的组合时，需要用到以下运算法则：
| 运算法则 | 表达式 | 说明 |
| 常数倍法则 | $ [Cf(x)]' = C f'(x) $ | 常数乘以函数的导数等于常数乘以函数的导数 |
| 加减法则 | $ [f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x) $ | 两个函数和差的导数等于各自导数的和差 |
| 乘积法则 | $ [f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $ | 两个函数乘积的导数等于第一个函数导数乘第二个函数加上第一个函数乘第二个函数导数 |
| 商法则 | $ \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $ | 两个函数商的导数等于分子导数乘分母减去分子乘分母导数，再除以分母平方 |
| 链式法则 | $ [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ | 复合函数的导数等于外层函数导数乘以内层函数导数 |
三、应用示例
例如，求函数 $ y = (x^2 + 1)\sin x $ 的导数：
- 使用乘积法则：
$$
y' = (x^2 + 1)' \cdot \sin x + (x^2 + 1) \cdot (\sin x)'
$$
- 计算各部分导数：
$$
(x^2 + 1)' = 2x,\quad (\sin x)' = \cos x
$$
- 代入得：
$$
y' = 2x \sin x + (x^2 + 1)\cos x
$$
四、总结
掌握求导的基本公式与运算法则是学习微积分的重要一步。通过灵活运用这些规则，可以快速求解各类函数的导数问题。建议在实际练习中不断巩固，提高计算准确性和熟练度。
如需进一步了解高阶导数、隐函数求导或参数方程求导等内容，可继续深入学习相关章节。