【求导公式大全高等数学】在高等数学中，求导是微积分的重要组成部分，广泛应用于函数分析、物理建模、工程计算等多个领域。掌握常见的求导公式对于理解函数的变化趋势和进行复杂运算具有重要意义。以下是对常见求导公式的总结，便于查阅与记忆。
一、基本初等函数的导数
| 函数表达式 | 导数 |
| $ y = C $（C为常数） | $ y' = 0 $ |
| $ y = x^n $（n为实数） | $ y' = nx^{n-1} $ |
| $ y = e^x $ | $ y' = e^x $ |
| $ y = a^x $（a > 0, a ≠ 1） | $ y' = a^x \ln a $ |
| $ y = \ln x $ | $ y' = \frac{1}{x} $ |
| $ y = \log_a x $（a > 0, a ≠ 1） | $ y' = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ y = \sin x $ | $ y' = \cos x $ |
| $ y = \cos x $ | $ y' = -\sin x $ |
| $ y = \tan x $ | $ y' = \sec^2 x $ |
| $ y = \cot x $ | $ y' = -\csc^2 x $ |
| $ y = \sec x $ | $ y' = \sec x \tan x $ |
| $ y = \csc x $ | $ y' = -\csc x \cot x $ |
二、复合函数的导数（链式法则）
若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
例如：
- 若 $ y = \sin(3x) $，则 $ y' = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x) $
- 若 $ y = e^{x^2} $，则 $ y' = e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2} $
三、反函数的导数
设 $ y = f(x) $ 的反函数为 $ x = f^{-1}(y) $，则：
$$
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \quad (y' \neq 0)
$$
例如：
- 若 $ y = \ln x $，则其反函数为 $ x = e^y $，导数为 $ \frac{dx}{dy} = e^y = x $
四、高阶导数
对一个函数连续求导多次，称为高阶导数。例如：
- 一阶导数：$ y' = \frac{dy}{dx} $
- 二阶导数：$ y'' = \frac{d^2y}{dx^2} $
- 三阶导数：$ y''' = \frac{d^3y}{dx^3} $
例如：
- 若 $ y = x^3 $，则 $ y' = 3x^2 $，$ y'' = 6x $，$ y''' = 6 $
五、隐函数的导数
若函数由方程 $ F(x, y) = 0 $ 隐含定义，则利用隐函数求导法：
$$
\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}
$$
例如：
- 若 $ x^2 + y^2 = 1 $，则 $ \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y} $
六、参数方程的导数
若 $ x = x(t) $，$ y = y(t) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \quad (x'(t) \neq 0)
$$
例如：
- 若 $ x = t^2 $，$ y = t^3 $，则 $ \frac{dy}{dx} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3}{2}t $
总结
以上内容涵盖了高等数学中常见的求导公式，包括基本初等函数、复合函数、反函数、高阶导数、隐函数及参数方程的导数。熟练掌握这些公式，有助于提升解题效率与逻辑思维能力。建议结合练习题反复巩固，加深理解。