【请教:什么时候可以用等价无穷小】在高等数学中，等价无穷小是一个非常重要的概念，尤其在求极限时经常被使用。然而，并不是所有情况下都可以随意替换等价无穷小，掌握其适用条件对于正确解题至关重要。
一、等价无穷小的定义
当 $ x \to x_0 $（或 $ x \to 0 $）时，若
$$
\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1,
$$
则称 $ f(x) $ 与 $ g(x) $ 是等价无穷小，记作 $ f(x) \sim g(x) $。
二、什么时候可以使用等价无穷小？
以下是一些常见的可以使用等价无穷小的场景：
| 使用场景 | 说明 |
| 乘除运算中 | 在乘法或除法中，可以将一个因子用其等价无穷小代替，不会影响极限结果。例如：$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $，因为 $ \sin x \sim x $。 |
| 加减运算中（需谨慎） | 在加减运算中，直接替换可能会导致错误。例如：$ \lim_{x \to 0} (\sqrt{1+x} - 1) $，若直接用 $ \sqrt{1+x} \sim 1 + \frac{x}{2} $，则得到 $ (1 + \frac{x}{2}) - 1 = \frac{x}{2} $，结果正确；但若表达式为 $ \lim_{x \to 0} (\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}) $，则不能简单地用等价无穷小代替，应先进行有理化处理。 |
| 复合函数中 | 若函数 $ f(x) \sim g(x) $，且 $ h(x) \to 0 $，则 $ f(h(x)) \sim g(h(x)) $。例如：$ \ln(1+x^2) \sim x^2 $ 当 $ x \to 0 $。 |
| 泰勒展开或麦克劳林展开中 | 在展开低阶项时，可用等价无穷小简化计算。例如：$ e^x \sim 1 + x + \frac{x^2}{2} $，在 $ x \to 0 $ 时可忽略高阶项。 |
三、什么时候不能使用等价无穷小？
| 禁止使用场景 | 原因 |
| 加减运算中未合理处理 | 若不注意无穷小的阶数，可能丢失关键信息。例如：$ \lim_{x \to 0} (\sin x - x) $，若用 $ \sin x \sim x $，则误以为差值为 0，但实际上应保留更高阶的近似。 |
| 涉及多个不同阶的无穷小相加 | 如 $ \lim_{x \to 0} (\sin x + x^3) $，若只用 $ \sin x \sim x $，则无法正确判断极限行为。 |
| 在极限不存在或趋于无穷的情况下 | 例如：$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x^2} $，若仅用 $ \sin x \sim x $，会误认为极限为 $ \frac{x}{x^2} = \frac{1}{x} \to \infty $，这是正确的，但若没有明确分析，可能误导。 |
四、总结
| 条件 | 是否可用 |
| 乘除运算 | ✅ 可以 |
| 加减运算（低阶项） | ❌ 不建议，需谨慎 |
| 复合函数 | ✅ 可以（需保证内层变量趋近于0） |
| 泰勒展开 | ✅ 可以（用于近似） |
| 涉及多个不同阶的无穷小 | ❌ 不建议，需统一阶数后处理 |
五、建议
在实际应用中，建议：
- 先确认所使用的等价无穷小是否适用于当前表达式；
- 对于加减运算，优先考虑有理化或泰勒展开；
- 保持对无穷小阶数的敏感度，避免因忽略高阶项而导致错误。
通过合理使用等价无穷小，可以大大简化极限的计算过程，但必须结合具体情况灵活运用。