问不定积分公式

【不定积分公式】在微积分的学习中，不定积分是重要的基础内容之一。它主要用于求解函数的原函数，即已知导数求原函数的过程。掌握常见的不定积分公式，有助于快速解决各种积分问题。

以下是一些常用的不定积分公式，以加表格的形式呈现，便于查阅和记忆。

一、基本积分公式总结

1. 常数函数积分

对于任意常数 $ k $，有：

$$

\int k \, dx = kx + C

$$

2. 幂函数积分

当 $ n \neq -1 $ 时，有：

$$

\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C

$$

3. 指数函数积分

$$

\int e^x \, dx = e^x + C

$$

$$

\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a > 0, a \ne 1)

$$

4. 三角函数积分

$$

\int \sin x \, dx = -\cos x + C

$$

$$

\int \cos x \, dx = \sin x + C

$$

$$

\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C

$$

$$

\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C

$$

5. 反三角函数积分

$$

\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan x + C

$$

$$

\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \arcsin x + C

$$

6. 对数函数积分

$$

\int \frac{1}{x} \, dx = \ln x + C

$$

7. 分式函数积分

$$

\int \frac{1}{x-a} \, dx = \ln x - a + C

$$

8. 特殊形式积分

$$

\int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C

$$

$$

\int \frac{1}{x^2 - a^2} \, dx = \frac{1}{2a} \ln \left \frac{x - a}{x + a} \right + C

$$

二、常用不定积分公式表

三、小结

以上内容涵盖了常见的不定积分公式，适用于大多数初等函数的积分运算。在实际应用中，还需要结合换元法、分部积分法、有理函数分解等方法进行更复杂的积分计算。熟练掌握这些基础公式，是进一步学习微积分的关键一步。