【不定积分常用公式有哪些】在微积分的学习中，不定积分是重要的基础内容之一。掌握常见的不定积分公式对于解决实际问题、进行数学分析以及后续的定积分计算都具有重要意义。以下是对一些常用的不定积分公式的总结，并以表格形式进行清晰展示。
一、基本积分公式
| 函数 | 不定积分 | ||
| $ \int x^n \, dx $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | ||
| $ \int \frac{1}{x} \, dx $ | $ \ln | x | + C $ |
| $ \int e^x \, dx $ | $ e^x + C $ | ||
| $ \int a^x \, dx $ | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $（$ a > 0, a \neq 1 $） | ||
| $ \int \sin x \, dx $ | $ -\cos x + C $ | ||
| $ \int \cos x \, dx $ | $ \sin x + C $ | ||
| $ \int \sec^2 x \, dx $ | $ \tan x + C $ | ||
| $ \int \csc^2 x \, dx $ | $ -\cot x + C $ | ||
| $ \int \sec x \tan x \, dx $ | $ \sec x + C $ | ||
| $ \int \csc x \cot x \, dx $ | $ -\csc x + C $ |
二、有理函数积分公式
| 函数 | 不定积分 | ||
| $ \int \frac{1}{ax + b} \, dx $ | $ \frac{1}{a} \ln | ax + b | + C $ |
| $ \int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx $ | $ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | ||
| $ \int \frac{1}{x^2 - a^2} \, dx $ | $ \frac{1}{2a} \ln\left | \frac{x - a}{x + a}\right | + C $ |
| $ \int \frac{1}{(x + a)^n} \, dx $ | $ \frac{(x + a)^{1 - n}}{1 - n} + C $（$ n \neq 1 $） |
三、三角函数积分公式
| 函数 | 不定积分 | ||
| $ \int \sin(ax) \, dx $ | $ -\frac{1}{a} \cos(ax) + C $ | ||
| $ \int \cos(ax) \, dx $ | $ \frac{1}{a} \sin(ax) + C $ | ||
| $ \int \tan x \, dx $ | $ -\ln | \cos x | + C $ |
| $ \int \cot x \, dx $ | $ \ln | \sin x | + C $ |
| $ \int \sec x \, dx $ | $ \ln | \sec x + \tan x | + C $ |
| $ \int \csc x \, dx $ | $ -\ln | \csc x + \cot x | + C $ |
四、反三角函数积分公式
| 函数 | 不定积分 | ||
| $ \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx $ | $ \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | ||
| $ \int \frac{1}{a^2 + x^2} \, dx $ | $ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | ||
| $ \int \frac{1}{x\sqrt{x^2 - a^2}} \, dx $ | $ \frac{1}{a} \text{arcsec}\left(\frac{ | x | }{a}\right) + C $ |
五、其他常见积分公式
| 函数 | 不定积分 | ||
| $ \int \ln x \, dx $ | $ x \ln x - x + C $ | ||
| $ \int \log_a x \, dx $ | $ \frac{x \ln x - x}{\ln a} + C $ | ||
| $ \int \frac{1}{x \ln x} \, dx $ | $ \ln | \ln x | + C $ |
| $ \int \frac{1}{x \ln x \cdot \ln(\ln x)} \, dx $ | $ \ln | \ln(\ln x) | + C $ |
六、总结
以上列出的是一些在数学学习和应用中较为常见的不定积分公式。这些公式不仅适用于考试复习，也常用于物理、工程、经济学等领域的建模与计算。建议在使用时注意积分变量、常数项及定义域的限制条件，确保结果的准确性。
通过熟练掌握这些公式，可以大大提高解题效率和对微积分的理解能力。