【函数求导公式】在微积分中，求导是研究函数变化率的重要工具。掌握常见的函数求导公式，有助于快速计算导数、分析函数性质以及解决实际问题。本文将对常用的函数求导公式进行总结，并以表格形式展示，便于查阅和记忆。
一、基本初等函数的导数公式
以下是一些常见函数的导数公式：
| 函数表达式 | 导数表达式 | 说明 |
| $ f(x) = C $（常数） | $ f'(x) = 0 $ | 常数的导数为零 |
| $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = nx^{n-1} $ | 幂函数的导数 |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ | 指数函数的导数等于自身 |
| $ f(x) = a^x $（$ a > 0, a \neq 1 $） | $ f'(x) = a^x \ln a $ | 底数为任意正数的指数函数导数 |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ | 自然对数的导数 |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ | 对数函数的导数 |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ | 正弦函数的导数 |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ | 余弦函数的导数 |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ | 正切函数的导数 |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ | 余切函数的导数 |
二、复合函数的求导法则
当函数由多个部分组合而成时，需要使用链式法则或乘积法则等进行求导。
1. 链式法则
若 $ y = f(g(x)) $，则
$$
\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
2. 乘积法则
若 $ y = u(x) \cdot v(x) $，则
$$
\frac{dy}{dx} = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
3. 商数法则
若 $ y = \frac{u(x)}{v(x)} $，则
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
三、高阶导数与隐函数求导
除了基本导数外，还需了解一些特殊类型的求导方法：
- 高阶导数：对函数连续求导多次，如 $ f''(x) $、$ f'''(x) $ 等。
- 隐函数求导：当函数不能显式表示为 $ y = f(x) $ 时，需通过两边对 $ x $ 求导来求出 $ \frac{dy}{dx} $。
四、总结
函数求导是数学分析中的基础内容，熟练掌握各类函数的导数公式，能够帮助我们更高效地处理复杂的数学问题。无论是简单的幂函数还是复杂的三角函数、指数函数，都有其对应的求导规则。同时，结合链式法则、乘积法则等，可以应对更为复杂的函数结构。建议在学习过程中多做练习，逐步加深对导数概念的理解和应用能力。