【线代特征多项式怎么求】在学习线性代数的过程中，特征多项式是一个非常重要的概念，尤其在矩阵的特征值和特征向量的计算中起着关键作用。本文将总结如何求解一个矩阵的特征多项式，并通过表格形式直观展示步骤与示例。
一、什么是特征多项式？
对于一个 $ n \times n $ 的方阵 $ A $，其特征多项式定义为：
$$
p(\lambda) = \det(A - \lambda I)
$$
其中，$ \lambda $ 是一个标量变量，$ I $ 是单位矩阵。该多项式的根即为矩阵 $ A $ 的特征值。
二、求解特征多项式的基本步骤
| 步骤 | 操作说明 |
| 1 | 给定一个 $ n \times n $ 的矩阵 $ A $ |
| 2 | 构造矩阵 $ A - \lambda I $，其中 $ \lambda $ 是变量 |
| 3 | 计算行列式 $ \det(A - \lambda I) $ |
| 4 | 展开并整理得到关于 $ \lambda $ 的多项式，即为特征多项式 |
三、示例：求矩阵的特征多项式
假设我们有如下矩阵：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{bmatrix}
$$
步骤 1：构造 $ A - \lambda I $
$$
A - \lambda I = \begin{bmatrix}
1 - \lambda & 2 \\
3 & 4 - \lambda
\end{bmatrix}
$$
步骤 2：计算行列式
$$
\det(A - \lambda I) = (1 - \lambda)(4 - \lambda) - (2)(3)
$$
$$
= (1 - \lambda)(4 - \lambda) - 6
$$
展开乘法部分：
$$
(1 - \lambda)(4 - \lambda) = 4 - \lambda - 4\lambda + \lambda^2 = \lambda^2 - 5\lambda + 4
$$
所以，
$$
\det(A - \lambda I) = \lambda^2 - 5\lambda + 4 - 6 = \lambda^2 - 5\lambda - 2
$$
步骤 3：得到特征多项式
$$
p(\lambda) = \lambda^2 - 5\lambda - 2
$$
四、总结
| 内容 | 说明 |
| 定义 | 特征多项式是 $ \det(A - \lambda I) $ |
| 目的 | 用于求矩阵的特征值 |
| 方法 | 构造 $ A - \lambda I $，计算行列式 |
| 示例 | 对于 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $，特征多项式为 $ \lambda^2 - 5\lambda - 2 $ |
通过以上方法，我们可以系统地求出任意矩阵的特征多项式，为进一步分析矩阵的性质（如特征值、特征向量等）打下基础。