【余弦定理cos公式】在三角形的几何学习中，余弦定理是一个非常重要的公式，它能够帮助我们求解任意三角形中的边长或角度。余弦定理不仅适用于直角三角形，也适用于所有类型的三角形，是三角学中的核心内容之一。
余弦定理的公式如下：
$$
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C
$$
其中，$a$、$b$、$c$ 是三角形的三边，$C$ 是夹在边 $a$ 和 $b$ 之间的角。该公式可以用于已知两边及其夹角时求第三边，也可以用于已知三边时求任意一个角。
余弦定理公式总结
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 余弦定理 | $ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C $ |
| 用于求边长 | 已知两边和夹角，求第三边 |
| 用于求角度 | 已知三边，求任意一个角（通过变形公式） |
余弦定理的应用场景
1. 已知两边及其夹角，求第三边
例如：已知 $a=5$，$b=7$，夹角 $C=60^\circ$，则：
$$
c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60^\circ = 25 + 49 - 70 \times 0.5 = 74 - 35 = 39
$$
所以 $c = \sqrt{39} \approx 6.24$
2. 已知三边，求角度
例如：已知 $a=3$，$b=4$，$c=5$，求角 $C$：
$$
\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{9 + 16 - 25}{2 \times 3 \times 4} = \frac{0}{24} = 0
$$
所以 $C = \cos^{-1}(0) = 90^\circ$，说明这是一个直角三角形。
余弦定理与正弦定理的区别
| 项目 | 余弦定理 | 正弦定理 |
| 用途 | 求边或角（已知两边及夹角或三边） | 求边或角（已知一边一对角） |
| 公式形式 | $ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C $ | $ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $ |
| 适用范围 | 任意三角形 | 任意三角形 |
小结
余弦定理是解决非直角三角形问题的重要工具，尤其在工程、物理、建筑等领域应用广泛。掌握其公式和使用方法，有助于提高几何分析能力。通过表格对比，可以更清晰地理解余弦定理与其他三角公式的关系和应用场景。