【威尔斯特拉斯函数】一、
威尔斯特拉斯函数是由德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）在19世纪提出的，是数学史上第一个被明确构造出来的“处处连续但处处不可导”的函数。这一发现对分析学的发展具有重要意义，挑战了当时人们对连续性和可导性之间关系的传统理解。
该函数的构造基于三角级数的形式，其定义如下：
$$
W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x)
$$
其中 $ 0 < a < 1 $，$ b $ 是一个奇整数，并且满足 $ ab > 1 + \frac{3}{2}\pi $。这样的条件确保了函数在所有点上都是连续的，但没有导数。
威尔斯特拉斯函数的出现表明，连续函数并不一定光滑，也不一定可以求导，这为后来的数学家如黎曼、康托尔等提供了新的研究方向。它也启发了现代数学中对分形几何、混沌理论和非光滑分析的研究。
二、表格展示
| 项目 | 内容 |
| 函数名称 | 威尔斯特拉斯函数 |
| 提出者 | 卡尔·魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass） |
| 提出时间 | 19世纪 |
| 数学意义 | 首个“处处连续但处处不可导”的函数，颠覆了传统观念 |
| 函数形式 | $ W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x) $ |
| 条件要求 | $ 0 < a < 1 $，$ b $ 为奇整数，且 $ ab > 1 + \frac{3}{2}\pi $ |
| 连续性 | 处处连续 |
| 可导性 | 处处不可导 |
| 影响 | 推动了分析学、分形几何、非光滑分析等领域发展 |
三、结语
威尔斯特拉斯函数不仅是数学史上的一个重要里程碑，也是现代数学中许多分支的基础之一。它的存在证明了数学世界的复杂性远超直观想象，也为后来的数学家提供了丰富的研究素材。今天，我们仍然可以在多个领域看到它的影子，尤其是在描述不规则、无规律现象时。