【除法求导法则公式】在微积分中，求导是研究函数变化率的重要工具。当遇到两个函数相除的情况时，我们需要使用“除法求导法则”来计算其导数。这个法则也被称为“商法则”，是求导过程中常用的一种方法。
一、除法求导法则的基本概念
设函数 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 都是可导函数，且 $ v(x) \neq 0 $。那么，$ f(x) $ 的导数可以用以下公式表示：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
这个公式可以简化为：
$$
\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
$$
二、除法求导法则的总结
| 项目 | 内容 |
| 公式名称 | 除法求导法则（商法则） |
| 表达式 | $ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $ |
| 使用条件 | 分母 $ v(x) \neq 0 $，且分子和分母都可导 |
| 应用场景 | 求两个可导函数相除后的导数 |
| 注意事项 | 计算时注意符号顺序：先乘后减，再除以分母的平方 |
三、示例说明
假设 $ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 3} $，求 $ f'(x) $。
- 设 $ u(x) = x^2 + 1 $，则 $ u'(x) = 2x $
- 设 $ v(x) = x - 3 $，则 $ v'(x) = 1 $
代入公式：
$$
f'(x) = \frac{(2x)(x - 3) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 3)^2}
$$
展开并化简：
$$
f'(x) = \frac{2x(x - 3) - (x^2 + 1)}{(x - 3)^2} = \frac{2x^2 - 6x - x^2 - 1}{(x - 3)^2} = \frac{x^2 - 6x - 1}{(x - 3)^2}
$$
四、小结
除法求导法则（商法则）是处理函数相除求导的关键工具，掌握其公式和应用方式对学习微积分至关重要。通过合理运用该法则，可以更高效地解决实际问题中的导数计算。
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