【除法求导法则】在微积分中，求导是研究函数变化率的重要工具。当函数以两个函数的商形式出现时，即一个函数除以另一个函数的形式，我们需要使用“除法求导法则”来求其导数。该法则也被称为“商法则”，是求导过程中常见的基本规则之一。
一、除法求导法则（商法则）总结
设函数 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 都是可导函数，且 $ v(x) \neq 0 $，则 $ f(x) $ 的导数为：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
这个公式可以简记为：分子导乘分母减去分母导乘分子，再除以分母的平方。
二、关键点说明
| 关键点 | 内容 |
| 适用对象 | 两个可导函数的商，即 $ \frac{u(x)}{v(x)} $ |
| 导数公式 | $ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} $ |
| 注意事项 | 分母不能为零，即 $ v(x) \neq 0 $ |
| 常见错误 | 忽略符号，如误将减号写成加号 |
| 使用场景 | 复杂函数的导数计算，如三角函数、指数函数等的商 |
三、示例解析
例1：
已知 $ f(x) = \frac{x^2}{\sin x} $，求 $ f'(x) $
解：
令 $ u(x) = x^2 $，$ v(x) = \sin x $
则 $ u'(x) = 2x $，$ v'(x) = \cos x $
代入公式得：
$$
f'(x) = \frac{2x \cdot \sin x - x^2 \cdot \cos x}{(\sin x)^2}
$$
四、对比记忆（与乘法法则比较）
| 法则 | 公式 | 特点 |
| 乘法法则 | $ (uv)' = u'v + uv' $ | 两项相加，符号为正 |
| 除法法则 | $ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $ | 两项相减，符号为负 |
五、总结
除法求导法则（商法则）是处理函数商形式导数的关键方法。掌握其公式和使用技巧有助于解决更复杂的微积分问题。通过练习不同类型的函数组合，可以进一步提高对这一法则的理解和应用能力。