【sinx的平方等于什么的积分】在数学学习中，经常会遇到关于三角函数的积分问题。其中，“sinx的平方等于什么的积分”是一个常见的问题。为了更清晰地理解这一问题，我们可以从基本的积分公式出发，结合三角恒等式进行推导，并以表格形式总结关键内容。
一、基本概念
sin²x 是一个常见的三角函数表达式，它本身并不是一个独立的积分结果，而是某个积分过程中的中间表达式或被积函数。因此，我们通常会问：“sin²x 的积分是什么？”或者“哪个函数的导数是 sin²x？”
不过，根据题目的表述，“sinx的平方等于什么的积分”，可以理解为：求一个函数，使得它的导数是 sin²x，即求 sin²x 的原函数（不定积分）。
二、推导过程
我们知道：
$$
\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}
$$
这是利用了三角恒等式：
$$
\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x \quad \Rightarrow \quad \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}
$$
因此，我们可以将 sin²x 的积分转化为更简单的形式：
$$
\int \sin^2 x \, dx = \int \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int (1 - \cos(2x)) \, dx
$$
接下来分别积分：
- $\int 1 \, dx = x$
- $\int \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2} \sin(2x)$
所以：
$$
\int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2} \left( x - \frac{1}{2} \sin(2x) \right) + C = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C
$$
三、总结与表格
| 项目 | 内容 |
| 表达式 | $\sin^2 x$ |
| 积分公式 | $\int \sin^2 x \, dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C$ |
| 使用的恒等式 | $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$ |
| 关键步骤 | 将 $\sin^2 x$ 转换为 $\frac{1 - \cos(2x)}{2}$ 后积分 |
| 最终结果 | $\frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C$ |
四、结论
sinx 的平方（即 $\sin^2 x$）的积分是：
$$
\frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C
$$
这个结果可以通过三角恒等式和基本积分规则推导得出。理解这一过程有助于掌握更多关于三角函数积分的方法，也便于在实际应用中灵活运用。