【不等式的基本性质】在数学中，不等式是表达两个数或代数式之间大小关系的重要工具。与等式不同，不等式表示的是“大于”、“小于”或“不等于”的关系。掌握不等式的基本性质，有助于我们更准确地进行代数运算和解题分析。
以下是对不等式基本性质的总结，并以表格形式展示其内容与应用。
一、不等式的基本性质总结
1. 对称性：若 $ a < b $，则 $ b > a $；若 $ a > b $，则 $ b < a $。
这表明不等式的方向可以互换。
2. 传递性：若 $ a < b $ 且 $ b < c $，则 $ a < c $；若 $ a > b $ 且 $ b > c $，则 $ a > c $。
不等式具有传递性，类似于等式的传递性。
3. 加法性质：若 $ a < b $，则 $ a + c < b + c $；若 $ a > b $，则 $ a + c > b + c $。
在不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变。
4. 减法性质：若 $ a < b $，则 $ a - c < b - c $；若 $ a > b $，则 $ a - c > b - c $。
减去同一个数，不等号方向也不变。
5. 乘法性质（正数）：若 $ a < b $ 且 $ c > 0 $，则 $ ac < bc $；若 $ a > b $ 且 $ c > 0 $，则 $ ac > bc $。
当乘以正数时，不等号方向不变。
6. 乘法性质（负数）：若 $ a < b $ 且 $ c < 0 $，则 $ ac > bc $；若 $ a > b $ 且 $ c < 0 $，则 $ ac < bc $。
当乘以负数时，不等号方向要改变。
7. 除法性质（正数）：若 $ a < b $ 且 $ c > 0 $，则 $ \frac{a}{c} < \frac{b}{c} $；若 $ a > b $ 且 $ c > 0 $，则 $ \frac{a}{c} > \frac{b}{c} $。
除以正数时，不等号方向不变。
8. 除法性质（负数）：若 $ a < b $ 且 $ c < 0 $，则 $ \frac{a}{c} > \frac{b}{c} $；若 $ a > b $ 且 $ c < 0 $，则 $ \frac{a}{c} < \frac{b}{c} $。
除以负数时，不等号方向要改变。
9. 同向不等式相加：若 $ a < b $ 且 $ c < d $，则 $ a + c < b + d $。
同方向的不等式可以相加，结果仍成立。
10. 同向不等式相乘（正数）：若 $ a < b $ 且 $ c < d $，且 $ a, b, c, d > 0 $，则 $ ac < bd $。
当所有数均为正时，同向不等式可相乘。
二、不等式基本性质总结表
| 性质名称 | 表达式 | 说明 |
| 对称性 | $ a < b \Leftrightarrow b > a $ | 不等式方向可互换 |
| 传递性 | $ a < b $ 且 $ b < c \Rightarrow a < c $ | 不等式具有传递性 |
| 加法性质 | $ a < b \Rightarrow a + c < b + c $ | 两边加同一数，方向不变 |
| 减法性质 | $ a < b \Rightarrow a - c < b - c $ | 两边减同一数，方向不变 |
| 乘法性质（正数） | $ a < b $ 且 $ c > 0 \Rightarrow ac < bc $ | 乘以正数，方向不变 |
| 乘法性质（负数） | $ a < b $ 且 $ c < 0 \Rightarrow ac > bc $ | 乘以负数，方向改变 |
| 除法性质（正数） | $ a < b $ 且 $ c > 0 \Rightarrow \frac{a}{c} < \frac{b}{c} $ | 除以正数，方向不变 |
| 除法性质（负数） | $ a < b $ 且 $ c < 0 \Rightarrow \frac{a}{c} > \frac{b}{c} $ | 除以负数，方向改变 |
| 同向不等式相加 | $ a < b $ 且 $ c < d \Rightarrow a + c < b + d $ | 同向不等式可相加 |
| 同向不等式相乘（正数） | $ a < b $ 且 $ c < d $ 且 $ a,b,c,d > 0 \Rightarrow ac < bd $ | 正数情况下可相乘 |
通过掌握这些基本性质，我们可以更灵活地处理不等式问题，特别是在解不等式方程、比较数值大小以及进行代数变换时，这些性质都是不可或缺的基础工具。