【常用的求导公式】在微积分的学习与应用中，求导是一个基础而重要的内容。掌握常见的求导公式不仅有助于提高计算效率，还能加深对函数变化规律的理解。本文将总结一些常用的求导公式，并以表格形式进行展示，方便查阅和记忆。
一、基本初等函数的导数
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a > 0, a ≠ 1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、三角函数的导数
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
三、反三角函数的导数
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arccos x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arctan x $ | $ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $ |
| $ f(x) = \text{arccot } x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{1 + x^2} $ |
四、复合函数的导数（链式法则）
若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
例如：
- $ f(x) = \sin(3x) $ 的导数为：$ \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x) $
- $ f(x) = (x^2 + 1)^5 $ 的导数为：$ 5(x^2 + 1)^4 \cdot 2x = 10x(x^2 + 1)^4 $
五、乘积与商的导数法则
乘积法则：
若 $ f(x) = u(x)v(x) $，则：
$$
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
商法则：
若 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，则：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
六、高阶导数简介
高阶导数指的是对一个函数连续求导多次的结果。例如：
- 一阶导数：$ f'(x) $
- 二阶导数：$ f''(x) = [f'(x)]' $
- 三阶导数：$ f'''(x) = [f''(x)]' $
高阶导数在物理、工程等领域中常用于描述加速度、曲率等概念。
总结
掌握常用的求导公式是学习微积分的重要一步。通过熟练运用这些公式，可以快速求解复杂函数的导数问题。同时，理解导数的实际意义也有助于提升数学思维能力。建议在学习过程中多做练习，逐步建立起对导数的直观理解和灵活运用能力。