【变上限积分求导公式是什么】在微积分中，变上限积分是一个非常重要的概念，尤其在求导过程中有着广泛的应用。它涉及到将一个函数的积分上限作为变量来处理，从而得到一个新的函数，并进一步对这个新函数进行求导。掌握变上限积分的求导公式，有助于我们更高效地解决实际问题。
一、变上限积分的基本定义
设函数 $ f(x) $ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且 $ F(x) = \int_a^x f(t) \, dt $，其中 $ x \in [a, b] $，则称 $ F(x) $ 为变上限积分。
二、变上限积分的求导公式
根据微积分基本定理（牛顿-莱布尼兹公式），若 $ f(x) $ 在区间 $[a, b]$ 上连续，则：
$$
\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) \, dt = f(x)
$$
这就是变上限积分的求导公式，也称为微积分基本定理的第一部分。
三、扩展情况：当上限是某个函数时
如果变上限不是 $ x $，而是某个关于 $ x $ 的函数 $ u(x) $，即：
$$
F(x) = \int_a^{u(x)} f(t) \, dt
$$
那么根据链式法则，其导数为：
$$
\frac{d}{dx} \int_a^{u(x)} f(t) \, dt = f(u(x)) \cdot u'(x)
$$
四、总结与对比
以下表格总结了不同情况下变上限积分的求导方式：
| 情况 | 积分形式 | 求导结果 |
| 常规变上限 | $\int_a^x f(t) \, dt$ | $f(x)$ |
| 上限为函数 | $\int_a^{u(x)} f(t) \, dt$ | $f(u(x)) \cdot u'(x)$ |
| 下限也为函数 | $\int_{v(x)}^{u(x)} f(t) \, dt$ | $f(u(x)) \cdot u'(x) - f(v(x)) \cdot v'(x)$ |
五、应用举例
例如，若 $ F(x) = \int_0^{\sin x} t^2 \, dt $，则：
$$
F'(x) = (\sin x)^2 \cdot \cos x
$$
这说明，只要知道积分上限和被积函数，就可以直接利用公式进行求导，无需计算积分本身。
六、小结
变上限积分的求导公式是微积分中的核心内容之一，尤其在处理复合函数的导数时具有重要作用。通过理解并熟练运用这一公式，可以大大简化复杂的求导过程，提高解题效率。