问sinz的模公式

【sinz的模公式】在复变函数中，正弦函数 $ \sin z $ 的模（即绝对值）是一个重要的概念。对于复数 $ z = x + iy $，我们可以推导出 $ \sin z $ 的表达式，并将其以简洁的方式展示出来。

一、总结

$ \sin z $ 是一个在复平面上定义的解析函数，其模可以通过三角恒等式和双曲函数的关系进行推导。通过将 $ z = x + iy $ 代入 $ \sin z $ 的定义，可以得到其模的表达式：

$$

$$

这个公式表明，$ \sin z $ 的模由实部 $ x $ 和虚部 $ y $ 共同决定，其中 $ \sin x $ 表示正弦函数的实部影响，而 $ \sinh y $ 则是双曲正弦函数，表示虚部对模的影响。

二、公式详解

1. 正弦函数的复数定义

$$

\sin z = \sin(x + iy) = \sin x \cos(iy) + \cos x \sin(iy)

$$

利用欧拉公式和双曲函数关系：

- $ \cos(iy) = \cosh y $

- $ \sin(iy) = i \sinh y $

代入得：

$$

\sin z = \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y

$$

因此，

$$

$$

进一步化简：

$$

$$

由于 $ \cosh^2 y - \sinh^2 y = 1 $，可进一步整理为：

$$

$$

三、关键公式对比表

四、结论

通过上述推导可以看出，$ \sin z $ 的模不仅与实部 $ x $ 相关，还受到虚部 $ y $ 的显著影响。该公式在复分析、信号处理以及物理问题中具有广泛应用。理解其结构有助于更深入地掌握复变函数的基本性质。