【两圆相交时公共弦怎么求】在几何中，当两个圆相交时，它们会有一个或两个交点。如果两个圆相交于两点，则这两点之间的线段称为“公共弦”。求解公共弦的长度和方程是解析几何中的常见问题。本文将通过总结的方式，结合公式与步骤，帮助读者理解如何求解两圆相交时的公共弦。
一、公共弦的基本概念
- 公共弦：两个相交圆的交点之间的线段。
- 公共弦的性质：
- 公共弦垂直于两圆心的连线。
- 公共弦的中点在两圆心连线上。
- 公共弦的长度可以通过几何方法或代数方法求得。
二、求解公共弦的方法总结
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 设定两圆的一般方程： 圆1：$ (x - a_1)^2 + (y - b_1)^2 = r_1^2 $ 圆2：$ (x - a_2)^2 + (y - b_2)^2 = r_2^2 $ |
| 2 | 将两圆方程展开并相减，得到公共弦的直线方程。 即：$ (x - a_1)^2 + (y - b_1)^2 - [(x - a_2)^2 + (y - b_2)^2] = r_1^2 - r_2^2 $ 化简后可得直线方程 $ Ax + By + C = 0 $ |
| 3 | 求出两圆心连线的斜率，确定公共弦的斜率（为负倒数） |
| 4 | 确定公共弦的中点坐标，该点位于两圆心连线上，并且到两圆心的距离满足一定关系 |
| 5 | 利用距离公式计算两交点之间的距离，即为公共弦的长度 |
三、公共弦长度的计算公式
设两圆圆心分别为 $ O_1(a_1, b_1) $ 和 $ O_2(a_2, b_2) $，半径分别为 $ r_1 $ 和 $ r_2 $，则：
- 两圆心之间的距离：
$ d = \sqrt{(a_2 - a_1)^2 + (b_2 - b_1)^2} $
- 若两圆相交，则公共弦长度为：
$ L = 2 \sqrt{r_1^2 - \left( \frac{d^2 + r_1^2 - r_2^2}{2d} \right)^2} $
四、示例说明
假设两圆方程如下：
- 圆1：$ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4 $
- 圆2：$ (x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 9 $
- 圆心分别为 $ O_1(1, 2) $ 和 $ O_2(4, 2) $，半径分别为 $ r_1 = 2 $，$ r_2 = 3 $
- 两圆心之间距离 $ d = 3 $
根据公式计算公共弦长度：
$$
L = 2 \sqrt{2^2 - \left( \frac{3^2 + 2^2 - 3^2}{2 \times 3} \right)^2} = 2 \sqrt{4 - \left( \frac{4}{6} \right)^2} = 2 \sqrt{4 - \frac{4}{9}} = 2 \sqrt{\frac{32}{9}} = \frac{8\sqrt{2}}{3}
$$
五、总结
| 项目 | 内容 |
| 公共弦定义 | 两圆相交时，两交点之间的线段 |
| 公共弦性质 | 垂直于两圆心连线，中点在连线上 |
| 公共弦方程 | 由两圆方程相减得到 |
| 公共弦长度 | 可用几何法或代数公式计算 |
| 关键公式 | $ L = 2 \sqrt{r_1^2 - \left( \frac{d^2 + r_1^2 - r_2^2}{2d} \right)^2} $ |
通过上述步骤和公式，可以系统地求解两圆相交时的公共弦问题。理解这些内容有助于进一步掌握圆与圆的位置关系及其几何特性。