【傅里叶变换所有公式】傅里叶变换是信号处理、物理学、工程学等领域中非常重要的数学工具，它能够将一个时域信号转换为频域表示，从而帮助我们更好地理解信号的频率组成。以下是傅里叶变换相关的各种公式总结，包括连续傅里叶变换、离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）以及一些常见形式的表达。
一、傅里叶变换的基本概念
傅里叶变换的核心思想是：任何满足一定条件的函数都可以表示为一系列正弦和余弦函数的叠加。通过傅里叶变换，可以将信号从时间域转换到频率域，便于分析其频率成分。
二、傅里叶变换的主要公式汇总
| 公式类型 | 公式表达 | 说明 |
| 连续傅里叶变换（CTFT） | $ X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j2\pi ft} dt $ | 将连续时间信号 $ x(t) $ 转换为频域表示 $ X(f) $ |
| 连续傅里叶逆变换（ICTFT） | $ x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j2\pi ft} df $ | 从频域恢复原始时域信号 |
| 离散傅里叶变换（DFT） | $ X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2\pi kn/N} $ | 对有限长度的离散信号进行频域分析 |
| 离散傅里叶逆变换（IDFT） | $ x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j2\pi kn/N} $ | 从频域恢复原始离散信号 |
| 快速傅里叶变换（FFT） | $ X[k] = \text{FFT}(x[n]) $ | DFT的高效计算算法，基于分治策略 |
| 傅里叶级数（FS） | $ x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{j2\pi k t/T} $ | 周期信号的频域展开形式，其中 $ c_k = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} x(t) e^{-j2\pi k t/T} dt $ |
| 傅里叶变换对称性 | $ \mathcal{F}\{x(-t)\} = X(-f) $ | 时域反转对应频域反转 |
| 时移性质 | $ \mathcal{F}\{x(t - t_0)\} = X(f) e^{-j2\pi f t_0} $ | 时域平移对应频域相位变化 |
| 频移性质 | $ \mathcal{F}\{x(t) e^{j2\pi f_0 t}\} = X(f - f_0) $ | 频域平移对应时域调制 |
| 卷积定理 | $ \mathcal{F}\{x(t) y(t)\} = X(f) Y(f) $ | 时域卷积等于频域乘积 |
三、常用傅里叶变换对举例
| 时域信号 $ x(t) $ | 频域信号 $ X(f) $ | 备注 |
| $ \delta(t) $ | $ 1 $ | 冲激函数的傅里叶变换为常数 |
| $ 1 $ | $ \delta(f) $ | 常数在时域对应冲激函数在频域 |
| $ e^{-at} u(t) $ | $ \frac{1}{a + j2\pi f} $ | 指数衰减信号的傅里叶变换 |
| $ \cos(2\pi f_0 t) $ | $ \frac{1}{2}[\delta(f - f_0) + \delta(f + f_0)] $ | 余弦信号的频谱为两个冲激 |
| $ \sin(2\pi f_0 t) $ | $ \frac{1}{2j}[\delta(f - f_0) - \delta(f + f_0)] $ | 正弦信号的频谱为两个冲激的差 |
| $ \text{rect}(t) $ | $ \text{sinc}(f) $ | 矩形脉冲的傅里叶变换为 sinc 函数 |
| $ \text{sinc}(t) $ | $ \text{rect}(f) $ | sinc 函数的傅里叶变换为矩形函数 |
四、总结
傅里叶变换是一套强大的数学工具，适用于多种信号类型的分析与处理。无论是连续信号还是离散信号，都可以通过不同的傅里叶变换形式进行频域分析。掌握这些基本公式不仅有助于理解信号的本质，还能在实际应用中发挥重要作用，如音频处理、图像压缩、通信系统设计等。
通过表格的形式，我们可以清晰地看到各类傅里叶变换的表达方式及其应用场景，便于记忆和查阅。希望本文能为你提供一份全面且实用的傅里叶变换公式参考资料。