【向量相乘的算法】在数学和计算机科学中，向量相乘是常见的运算之一，主要用于物理、工程、机器学习等领域。向量相乘主要有两种形式：点积（内积）和叉积（外积）。它们在计算方式、应用场景以及结果性质上都有显著的不同。
一、点积（内积）
点积是两个向量之间的一种乘法运算，其结果是一个标量（单一数值）。点积常用于计算两个向量之间的夹角、投影长度等。
计算公式：
设向量 a = (a₁, a₂, ..., aₙ) 和 b = (b₁, b₂, ..., bₙ)，则它们的点积为：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n
$$
特点：
- 结果是一个标量；
- 满足交换律：$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$；
- 与向量方向有关，当两向量垂直时，点积为0。
二、叉积（外积）
叉积是两个三维向量之间的乘法运算，其结果是一个新的向量，该向量垂直于原来的两个向量所在的平面。
计算公式：
设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的叉积为：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{pmatrix}
a_2b_3 - a_3b_2 \\
a_3b_1 - a_1b_3 \\
a_1b_2 - a_2b_1
\end{pmatrix}
$$
特点：
- 结果是一个向量；
- 不满足交换律，$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$；
- 仅适用于三维空间；
- 叉积的模长等于两个向量构成的平行四边形的面积。
三、对比总结
| 类型 | 名称 | 运算对象 | 结果类型 | 是否可交换 | 应用场景 |
| 点积 | 内积 | 任意维向量 | 标量 | 是 | 角度计算、投影、相似度 |
| 叉积 | 外积 | 三维向量 | 向量 | 否 | 垂直方向计算、旋转轴、面积计算 |
四、实际应用举例
- 点积：在机器学习中，用于计算两个特征向量的相似性；在物理学中，用于计算力做功。
- 叉积：在3D图形学中，用于计算法线方向；在力学中，用于计算扭矩的方向和大小。
通过理解点积与叉积的区别与联系，可以更高效地处理向量相关的计算问题，并在不同领域中灵活应用这些算法。