【用待定系数法求二次函数的解析式】在学习二次函数的过程中，掌握如何根据已知条件求出其解析式是非常重要的。其中，“待定系数法”是一种常用的方法，适用于已知某些点或图像特征时求解二次函数表达式的问题。
待定系数法的核心思想是：假设二次函数的一般形式，然后根据题目给出的条件列出方程组，最后通过解方程组来确定各个未知系数的值。
一、二次函数的一般形式
一般情况下，二次函数的标准形式为：
$$
y = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)
$$
其中，$ a $、$ b $、$ c $ 是待定系数，需要根据题目的条件进行求解。
二、常见的几种情况及对应的解法
| 已知条件 | 解题思路 | 示例 |
| 知道图象经过三个点 | 设定一般式，代入三点坐标列方程组 | 若已知点 $ (1, 2) $、$ (2, 5) $、$ (3, 10) $，可代入得三元一次方程组求解 $ a $、$ b $、$ c $ |
| 知道顶点和一个点 | 使用顶点式 $ y = a(x - h)^2 + k $ | 若顶点为 $ (2, 3) $，且过点 $ (4, 7) $，可代入求出 $ a $ |
| 知道与 x 轴交点（根）和一个点 | 使用交点式 $ y = a(x - x_1)(x - x_2) $ | 若两根为 $ x = 1 $ 和 $ x = 3 $，且过点 $ (2, 4) $，可代入求出 $ a $ |
三、具体步骤总结
1. 设定形式：根据题目给出的信息选择合适的二次函数形式（一般式、顶点式或交点式）。
2. 代入条件：将已知点或其它条件代入所选形式中，得到关于系数的方程。
3. 解方程组：通过代数方法（如消元、代入等）解出所有未知系数。
4. 验证结果：将求得的系数代入原式，检查是否满足题目中的所有条件。
四、示例分析
题目：已知二次函数的图象经过点 $ (0, 3) $、$ (1, 6) $ 和 $ (2, 11) $，求该二次函数的解析式。
解法：
1. 假设函数为一般式：$ y = ax^2 + bx + c $
2. 代入点 $ (0, 3) $ 得：$ c = 3 $
3. 代入点 $ (1, 6) $ 得：$ a + b + 3 = 6 \Rightarrow a + b = 3 $
4. 代入点 $ (2, 11) $ 得：$ 4a + 2b + 3 = 11 \Rightarrow 4a + 2b = 8 $
联立方程组：
$$
\begin{cases}
a + b = 3 \\
4a + 2b = 8
\end{cases}
$$
解得：$ a = 1 $，$ b = 2 $，$ c = 3 $
结论：该二次函数的解析式为
$$
y = x^2 + 2x + 3
$$
五、小结
| 方法 | 适用条件 | 优点 | 缺点 |
| 一般式 | 知道任意三点 | 直观、通用 | 需要解三元一次方程组 |
| 顶点式 | 知道顶点和一个点 | 简洁、便于理解 | 仅适用于顶点信息 |
| 交点式 | 知道两个零点和一个点 | 快速确定根 | 仅适用于有实数根的情况 |
通过灵活运用待定系数法，我们可以快速准确地求出二次函数的解析式。熟练掌握不同形式的应用场景，有助于提高解题效率和准确性。