【一元二次方程的求根公式】在数学中，一元二次方程是最常见的代数方程之一，形式为：
$$ ax^2 + bx + c = 0 $$
其中 $ a \neq 0 $，$ a $、$ b $、$ c $ 为常数。为了求解这个方程的根，我们可以使用求根公式（也称为求根公式法）。
求根公式是通过配方法推导出来的，适用于所有一元二次方程。它能够快速找到方程的两个实数根或复数根，具体取决于判别式 $ D = b^2 - 4ac $ 的值。
求根公式的推导过程简要总结：
1. 从标准形式 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 出发；
2. 将方程两边同时除以 $ a $，得到：
$$ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 $$
3. 移项得：
$$ x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} $$
4. 配方：在两边加上 $ \left(\frac{b}{2a}\right)^2 $，得到：
$$ x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 $$
5. 左边化为平方形式，右边化简后得到：
$$ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} $$
6. 开方并整理得：
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
求根公式一览表
| 公式名称 | 公式表达式 | 适用条件 | 根的性质 |
| 一元二次方程 | $ ax^2 + bx + c = 0 $ | $ a \neq 0 $ | 有且仅有两个根 |
| 求根公式 | $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $ | $ a \neq 0 $ | 可求出实数或复数根 |
| 判别式 $ D $ | $ D = b^2 - 4ac $ | 用于判断根的类型 | $ D > 0 $：两不等实根；$ D = 0 $：一重实根；$ D < 0 $：共轭复根 |
实际应用举例
假设有一个一元二次方程：
$$ 2x^2 - 5x + 2 = 0 $$
根据求根公式：
- $ a = 2 $, $ b = -5 $, $ c = 2 $
- 判别式 $ D = (-5)^2 - 4 \times 2 \times 2 = 25 - 16 = 9 $
- 根为：
$$ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{9}}{2 \times 2} = \frac{5 \pm 3}{4} $$
所以，$ x_1 = 2 $，$ x_2 = \frac{1}{2} $
总结
一元二次方程的求根公式是一种通用且高效的求解方法，能够适用于所有符合条件的一元二次方程。掌握这一公式不仅有助于解决实际问题，还能加深对二次函数图像和根的理解。在教学和考试中，它是必须掌握的核心知识点之一。