【概率论与数理统计公式总结】在学习概率论与数理统计的过程中，掌握各类基本公式是理解理论、解决实际问题的关键。本文对常见的概率论与数理统计公式进行系统整理，便于复习与查阅。
一、基本概念与公式
| 类别 | 公式名称 | 公式表达式 | 说明 | |
| 概率定义 | 古典概型 | $ P(A) = \frac{\text{事件A包含的基本事件数}}{\text{总基本事件数}} $ | 适用于等可能性的样本空间 | |
| 概率定义 | 几何概型 | $ P(A) = \frac{\text{区域A的长度/面积/体积}}{\text{整个区域的长度/面积/体积}} $ | 适用于连续型随机现象 | |
| 概率性质 | 加法公式 | $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $ | 用于计算两个事件至少一个发生的概率 | |
| 概率性质 | 互补事件 | $ P(\overline{A}) = 1 - P(A) $ | 事件A不发生的概率 | |
| 条件概率 | 条件概率 | $ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $, $ P(B) > 0 $ | 在B发生的条件下A发生的概率 |
| 独立事件 | 独立性 | $ P(A \cap B) = P(A)P(B) $ | A与B相互独立时成立 |
二、随机变量及其分布
1. 离散型随机变量
| 类型 | 分布名称 | 概率质量函数（PMF） | 期望 | 方差 |
| 二项分布 | $ X \sim B(n, p) $ | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 | $ X \sim \text{Poisson}(\lambda) $ | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 几何分布 | $ X \sim \text{Geo}(p) $ | $ P(X = k) = (1-p)^{k-1} p $ | $ \frac{1}{p} $ | $ \frac{1-p}{p^2} $ |
2. 连续型随机变量
| 类型 | 分布名称 | 概率密度函数（PDF） | 期望 | 方差 |
| 均匀分布 | $ X \sim U(a, b) $ | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $, $ a \le x \le b $ | $ \frac{a+b}{2} $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
| 正态分布 | $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 指数分布 | $ X \sim \text{Exp}(\lambda) $ | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $, $ x \ge 0 $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
三、数字特征
| 术语 | 公式表达 | 说明 |
| 数学期望 | $ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X = x_i) $（离散） 或 $ E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx $（连续） | 随机变量的平均值 |
| 方差 | $ D(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2 $ | 表示随机变量与其均值的偏离程度 |
| 协方差 | $ \text{Cov}(X,Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))] $ | 衡量两个变量之间的线性相关程度 |
| 相关系数 | $ \rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}} $ | 表示两个变量之间的线性相关强度，范围在 [-1, 1] |
四、大数定律与中心极限定理
| 定理名称 | 内容简述 |
| 大数定律 | 当样本容量趋于无穷时，样本均值依概率收敛于总体期望 |
| 中心极限定理 | 对于独立同分布的随机变量序列，其和的标准化形式近似服从正态分布 |
五、参数估计与假设检验
| 方法 | 名称 | 公式表达 | 说明 |
| 点估计 | 矩估计 | 用样本矩估计总体矩 | 如：$ \hat{\mu} = \bar{X} $ |
| 点估计 | 最大似然估计 | 使似然函数最大化的参数估计 | 常用于已知分布类型的情况 |
| 区间估计 | 置信区间 | $ \bar{X} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $ | 用于估计总体均值的置信区间 |
| 假设检验 | Z检验 | $ Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} $ | 用于检验总体均值是否等于某值 |
通过以上整理，我们可以清晰地看到概率论与数理统计中常用公式的结构与应用方式。这些公式不仅是理论研究的基础，也是实际数据分析的重要工具。希望这份总结能帮助你更好地理解和掌握这门学科。