符号函数（Sign Function），通常记作 $\text{sgn}(x)$，是一个在数学和工程领域中广泛应用的重要函数。它主要用于描述一个数值的正负性，同时在信号处理、控制系统以及微积分等领域发挥着重要作用。符号函数的核心定义简单明了，但它却蕴含了丰富的数学意义。

符号函数的定义如下：

$$

\text{sgn}(x) =

\begin{cases}

-1, & x < 0; \\

0, & x = 0; \\

1, & x > 0.

\end{cases}

$$

从数学角度来看，符号函数是分段常值函数的一个典型例子。当输入 $x$ 小于零时，输出为 $-1$；当 $x$ 等于零时，输出为 $0$；而当 $x$ 大于零时，输出为 $1$。这种分段特性使得符号函数成为许多复杂系统建模的基础工具。

在实际应用中，符号函数常常用于判断信号的方向或极性。例如，在信号处理中，通过将输入信号与符号函数结合，可以快速提取信号的正负信息。此外，符号函数还经常出现在控制理论中，用以表示系统的开关状态或者方向变化。

尽管符号函数的形式简单，但在某些情况下它的导数并不连续，这给一些数学分析带来了挑战。然而，正是由于其独特的性质，符号函数在现代科学和技术中的地位不可替代。无论是解决实际问题还是构建理论模型，符号函数都扮演着不可或缺的角色。