问直线与圆相交的弦长公式

【直线与圆相交的弦长公式】在解析几何中，直线与圆相交时，会形成一条弦。这条弦的长度可以通过一定的数学公式进行计算。掌握这一公式对于解决几何问题、解析几何应用以及相关工程计算都具有重要意义。

一、公式总结

当一条直线与一个圆相交时，可以利用以下公式求出两交点之间的弦长：

公式一（代数法）：

设圆的方程为：

$$ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 $$

直线的方程为：

$$ Ax + By + C = 0 $$

联立这两个方程，解得两个交点坐标后，利用两点间距离公式计算弦长。

但这种方法较为繁琐，不便于快速计算。

公式二（几何法）：

若已知圆心到直线的距离 $ d $，圆的半径为 $ r $，则弦长 $ l $ 可以表示为：

$$ l = 2\sqrt{r^2 - d^2} $$

这是最常用、最简便的方法，适用于大多数情况。

二、关键概念解释

三、使用步骤

1. 确定圆心和半径：根据圆的方程找出圆心 $(a, b)$ 和半径 $ r $。

2. 计算圆心到直线的距离 $ d $：使用点到直线的距离公式。

3. 代入弦长公式：用 $ l = 2\sqrt{r^2 - d^2} $ 计算弦长。

四、示例说明

假设圆的方程为：

$$ x^2 + y^2 = 25 $$

即圆心为原点 $(0, 0)$，半径 $ r = 5 $

直线方程为：

$$ x + y - 5 = 0 $$

1. 圆心到直线的距离：

$$ d = \frac{0 + 0 - 5}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} $$

2. 弦长：

$$ l = 2\sqrt{25 - \left(\frac{5}{\sqrt{2}}\right)^2} = 2\sqrt{25 - \frac{25}{2}} = 2\sqrt{\frac{25}{2}} = 2 \cdot \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} $$

五、注意事项

- 当 $ d > r $ 时，直线与圆不相交，无弦长；

- 当 $ d = r $ 时，直线与圆相切，弦长为 0；

- 当 $ d < r $ 时，直线与圆相交于两点，存在有效弦长。

六、总结

直线与圆相交的弦长公式是解析几何中的重要工具，通过计算圆心到直线的距离，结合圆的半径，可以快速得出弦长。掌握该公式不仅有助于提升几何分析能力，还能在实际应用中提高效率。