【二次函数的6个公式】在数学学习中，二次函数是一个非常重要的知识点，广泛应用于代数、几何和物理等领域。掌握二次函数的相关公式，有助于我们更高效地分析和解决实际问题。本文将总结二次函数的6个关键公式，并通过表格形式进行清晰展示。
一、二次函数的基本形式
二次函数的标准形式为：
$$
y = ax^2 + bx + c
$$
其中：
- $ a $ 是二次项系数，决定抛物线的开口方向和宽窄；
- $ b $ 是一次项系数；
- $ c $ 是常数项，表示图像与y轴的交点。
二、顶点式（顶点坐标公式）
二次函数的顶点式为：
$$
y = a(x - h)^2 + k
$$
其中：
- $ (h, k) $ 是抛物线的顶点坐标；
- 可由标准式推导出：
$$
h = -\frac{b}{2a}, \quad k = f(h) = ah^2 + bh + c
$$
三、求根公式（求根公式）
对于方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $，其解为：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
其中：
- 判别式 $ D = b^2 - 4ac $ 决定了根的性质：
- $ D > 0 $：两个不同的实数根；
- $ D = 0 $：一个实数根（重根）；
- $ D < 0 $：无实数根，有两个共轭复数根。
四、对称轴公式
二次函数图像的对称轴为直线：
$$
x = -\frac{b}{2a}
$$
这是顶点横坐标的表达式，也是图像关于该直线对称的依据。
五、图像的开口方向判断
根据二次项系数 $ a $ 的符号判断抛物线的开口方向：
| $ a $ 的符号 | 开口方向 |
| $ a > 0 $ | 向上 |
| $ a < 0 $ | 向下 |
六、韦达定理（根与系数的关系）
对于方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $，设其两根为 $ x_1 $ 和 $ x_2 $，则有：
$$
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}
$$
总结表格
| 公式名称 | 表达式 | 说明 |
| 标准形式 | $ y = ax^2 + bx + c $ | 基本表达方式 |
| 顶点式 | $ y = a(x - h)^2 + k $ | 便于找到顶点坐标 |
| 求根公式 | $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $ | 解二次方程 |
| 对称轴公式 | $ x = -\frac{b}{2a} $ | 图像的对称中心 |
| 开口方向判断 | $ a > 0 $: 向上；$ a < 0 $: 向下 | 判断抛物线形状 |
| 韦达定理 | $ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} $, $ x_1 x_2 = \frac{c}{a} $ | 根与系数的关系 |
通过掌握这六个公式，我们可以更全面地理解二次函数的性质及其应用。在实际问题中，灵活运用这些公式能够帮助我们快速找到解题思路，提高解题效率。