【卡方分布表达式】卡方分布是统计学中一种重要的概率分布，常用于假设检验和置信区间的构建。它与正态分布密切相关，尤其在检验变量之间的独立性、拟合优度以及方差分析中具有广泛应用。本文将对卡方分布的表达式进行总结，并通过表格形式展示其关键特征。
一、卡方分布的基本概念
卡方分布（Chi-Square Distribution）是一种连续概率分布，记作 $ \chi^2 $ 分布。它是从标准正态分布变量的平方和中导出的。设 $ X_1, X_2, \ldots, X_n $ 是来自标准正态分布 $ N(0,1) $ 的独立随机变量，则它们的平方和：
$$
\chi^2 = X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2
$$
服从自由度为 $ n $ 的卡方分布，记作：
$$
\chi^2 \sim \chi^2(n)
$$
二、卡方分布的概率密度函数
卡方分布的概率密度函数（PDF）为：
$$
f(x; k) = \frac{1}{2^{k/2} \Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2}
$$
其中：
- $ x \geq 0 $
- $ k $ 为自由度（degrees of freedom）
- $ \Gamma(\cdot) $ 为伽马函数，满足 $ \Gamma(n) = (n-1)! $ 当 $ n $ 为正整数时
三、卡方分布的性质
| 属性 | 描述 |
| 定义 | 设 $ X_1, X_2, \ldots, X_k $ 独立且服从 $ N(0,1) $，则 $ \chi^2 = \sum_{i=1}^{k} X_i^2 $ 服从 $ \chi^2(k) $ |
| 均值 | $ E(X) = k $ |
| 方差 | $ Var(X) = 2k $ |
| 偏度 | $ \sqrt{\frac{8}{k}} $，随着 $ k $ 增大趋于对称 |
| 峰度 | $ \frac{12}{k} $，同样随 $ k $ 增大趋于正态分布 |
四、常见应用场景
| 应用场景 | 说明 |
| 拟合优度检验 | 检验观察频数与理论频数是否一致 |
| 独立性检验 | 判断两个分类变量是否独立 |
| 方差分析 | 检验多个样本方差是否相等 |
| 卡方检验 | 用于分类数据的假设检验 |
五、卡方分布表（部分临界值）
以下为常用显著性水平下的卡方分布临界值（自由度 $ k $）：
| 自由度 $ k $ | 显著性水平 $ \alpha = 0.05 $ | 显著性水平 $ \alpha = 0.01 $ |
| 1 | 3.841 | 6.635 |
| 2 | 5.991 | 9.210 |
| 3 | 7.815 | 11.345 |
| 4 | 9.488 | 13.277 |
| 5 | 11.070 | 15.086 |
六、总结
卡方分布是统计学中非常重要的工具，广泛应用于各种假设检验和数据分析中。其表达式基于标准正态分布变量的平方和，具有明确的数学形式和清晰的统计特性。理解其概率密度函数、均值、方差等属性，有助于在实际问题中正确应用卡方检验方法。
通过上述表格和文字说明，可以更直观地掌握卡方分布的核心内容，为后续统计分析打下坚实基础。