【几何布朗运动】一、
几何布朗运动（Geometric Brownian Motion, 简称GBM）是金融数学中一个重要的随机过程模型，广泛应用于股票价格、汇率等金融资产的建模。它在Black-Scholes期权定价模型中起着核心作用。几何布朗运动的特点是其对数变化服从布朗运动，因此具有正态分布的特性，并且能够模拟资产价格的持续增长趋势。
该模型假设资产价格的变化率与当前价格成正比，同时受到随机波动的影响。这种特性使得GBM在描述金融市场的不确定性时非常有用，但也存在一定的局限性，例如无法很好地捕捉市场中的极端事件或跳跃行为。
二、关键参数与公式
| 参数 | 含义 | 公式 |
| $ S_t $ | 时间 $ t $ 时的资产价格 | - |
| $ \mu $ | 年化期望收益率 | - |
| $ \sigma $ | 年化波动率 | - |
| $ dW_t $ | 布朗运动的微小变化 | - |
| $ dt $ | 时间微分 | - |
| 动态方程 | $ dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t $ | - |
三、主要特点
1. 对数正态分布：$ \ln(S_t) $ 服从正态分布。
2. 连续时间模型：适用于连续时间的金融资产价格建模。
3. 无记忆性：未来价格仅依赖于当前价格，不受历史影响。
4. 非负性：资产价格始终为正，符合现实情况。
四、应用场景
- 股票价格预测
- 期权定价（如Black-Scholes模型）
- 投资组合风险分析
- 金融衍生品建模
五、局限性
1. 忽略跳跃：不能有效描述市场中的突发性事件。
2. 波动率恒定：假设波动率不变，现实中波动率会随时间变化。
3. 不考虑交易成本：忽略了实际交易中可能存在的费用。
4. 不适用所有资产：某些资产（如债券）可能不符合GBM的假设。
六、总结
几何布朗运动作为一种经典的随机过程模型，在金融领域具有重要地位。它通过简单的数学形式，成功地刻画了资产价格的随机演变规律，为金融工程和风险管理提供了理论基础。尽管存在一定的局限性，但其简洁性和实用性使其仍然是金融建模的重要工具之一。