问行列式展开公式

【行列式展开公式】在线性代数中，行列式是一个重要的概念，用于判断矩阵是否可逆、计算向量的体积等。行列式的计算方法有多种，其中行列式展开公式（也称为拉普拉斯展开）是一种基础且常用的计算方式。本文将对行列式展开公式进行总结，并通过表格形式展示其核心内容。

一、行列式展开公式的定义

行列式展开公式是指通过选择矩阵的某一行或某一列，将其元素与对应的代数余子式相乘后求和，从而计算出整个行列式的值。这一过程也被称为拉普拉斯展开。

设 $ A = (a_{ij}) $ 是一个 $ n \times n $ 的方阵，则其行列式 $ A $ 可以按第 $ i $ 行或第 $ j $ 列展开：

- 按第 $ i $ 行展开：

$$

$$

- 按第 $ j $ 列展开：

$$

$$

其中，$ C_{ij} $ 是 $ a_{ij} $ 的代数余子式，定义为：

$$

C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}

$$

其中 $ M_{ij} $ 是去掉第 $ i $ 行和第 $ j $ 列后的 $ (n-1) \times (n-1) $ 子矩阵的行列式。

二、行列式展开的核心步骤

1. 选择行或列：通常选择含有较多零的行或列，以简化计算。

2. 计算代数余子式：对于每个非零元素，计算其对应的代数余子式。

3. 相乘求和：将每个元素与其对应的代数余子式相乘，最后求和得到行列式的值。

三、行列式展开公式总结表

四、应用实例（简要）

以 3×3 矩阵为例：

$$

A = \begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 \\

4 & 5 & 6 \\

7 & 8 & 9 \\

\end{bmatrix}

$$

按第一行展开：

$$

$$

计算各代数余子式：

- $ C_{11} = (+1) \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = 5 \cdot 9 - 6 \cdot 8 = 45 - 48 = -3 $

- $ C_{12} = (-1) \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = -(4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) = -(36 - 42) = 6 $

- $ C_{13} = (+1) \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} = 4 \cdot 8 - 5 \cdot 7 = 32 - 35 = -3 $

最终结果：

$$

$$

五、注意事项

- 展开时应尽量选择含有更多零的行或列，以减少计算量。

- 若矩阵较大，建议使用递归或程序化计算。

- 行列式展开适用于小规模矩阵，大规模矩阵更推荐使用其他方法如高斯消元法。

通过以上总结可以看出，行列式展开公式是理解行列式性质和计算方法的重要工具，掌握其原理有助于深入学习线性代数相关内容。