【积分常用公式】在数学学习与应用中，积分是微积分的重要组成部分，广泛应用于物理、工程、经济学等多个领域。掌握常见的积分公式有助于提高解题效率和理解能力。以下是一些常用的积分公式总结，便于查阅与记忆。
一、基本积分公式
| 函数 | 不定积分 | 说明 | ||
| $ x^n $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | 幂函数积分 | ||
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | 指数函数积分 | ||
| $ a^x $ | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $（$ a > 0, a \neq 1 $） | 指数函数积分（底数为常数） | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ | 对数函数积分 |
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | 三角函数积分 | ||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | 三角函数积分 | ||
| $ \sec^2 x $ | $ \tan x + C $ | 三角函数积分 | ||
| $ \csc^2 x $ | $ -\cot x + C $ | 三角函数积分 | ||
| $ \sec x \tan x $ | $ \sec x + C $ | 三角函数积分 | ||
| $ \csc x \cot x $ | $ -\csc x + C $ | 三角函数积分 |
二、常见函数的不定积分
| 函数 | 不定积分 | 说明 | ||
| $ \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \frac{1}{a} \arctan\left( \frac{x}{a} \right) + C $ | 反三角函数积分 | ||
| $ \frac{1}{x^2 - a^2} $ | $ \frac{1}{2a} \ln \left | \frac{x - a}{x + a} \right | + C $ | 分式积分 |
| $ \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} $ | $ \arcsin\left( \frac{x}{a} \right) + C $ | 反三角函数积分 | ||
| $ \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} $ | $ \ln \left | x + \sqrt{x^2 + a^2} \right | + C $ | 反双曲函数积分 |
| $ \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} $ | $ \ln \left | x + \sqrt{x^2 - a^2} \right | + C $ | 反双曲函数积分 |
三、特殊函数的积分
| 函数 | 不定积分 | 说明 | ||
| $ \sinh x $ | $ \cosh x + C $ | 双曲函数积分 | ||
| $ \cosh x $ | $ \sinh x + C $ | 双曲函数积分 | ||
| $ \tanh x $ | $ \ln | \cosh x | + C $ | 双曲函数积分 |
| $ \coth x $ | $ \ln | \sinh x | + C $ | 双曲函数积分 |
四、积分技巧与公式总结
1. 换元法：通过变量替换简化积分表达式。
2. 分部积分法：适用于乘积形式的函数积分，公式为：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
3. 有理函数积分：利用部分分式分解进行积分。
4. 三角代换：用于处理含有平方根的积分，如 $ \sqrt{a^2 - x^2} $、$ \sqrt{a^2 + x^2} $ 等。
5. 对称性：对于偶函数或奇函数，可利用对称性质简化计算。
五、总结
积分是数学分析中的核心内容，掌握常见积分公式和方法是提升解题能力的关键。本文整理了多项基本积分公式及常见函数的积分形式，适用于初学者复习或作为参考资料。在实际应用中，还需结合具体问题灵活运用积分技巧，如换元法、分部积分等，以达到高效求解的目的。
希望这份总结能帮助你在学习积分的过程中更加得心应手！