【两根之和两根之积公式叫什么】在初中数学中，我们经常接触到一元二次方程的解法。对于形如 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的方程，若其有两个实数根 $ x_1 $ 和 $ x_2 $，则这两个根与系数之间存在一定的关系。这些关系被称为“韦达定理”，也称为“根与系数的关系”。
一、什么是“两根之和”和“两根之积”？
在一元二次方程中：
- 两根之和（即 $ x_1 + x_2 $）表示两个根的总和；
- 两根之积（即 $ x_1 \cdot x_2 $）表示两个根的乘积。
这些数值可以通过方程的系数直接计算出来，而无需先求出具体的根。
二、韦达定理的内容
根据韦达定理，对于一元二次方程：
$$
ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)
$$
设其两个根为 $ x_1 $ 和 $ x_2 $，则有以下关系：
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 两根之和 | $ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} $ | 根的和等于负的 $ b $ 除以 $ a $ |
| 两根之积 | $ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} $ | 根的积等于 $ c $ 除以 $ a $ |
三、应用举例
假设有一个方程：
$$
2x^2 - 5x + 3 = 0
$$
这里，$ a = 2 $，$ b = -5 $，$ c = 3 $
根据韦达定理：
- 两根之和：$ x_1 + x_2 = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2} $
- 两根之积：$ x_1 \cdot x_2 = \frac{3}{2} $
如果实际求根，可以使用求根公式验证：
$$
x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4} = \frac{5 \pm 1}{4}
$$
得到两个根：$ x_1 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} $，$ x_2 = \frac{4}{4} = 1 $
验证：
- 两根之和：$ \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2} $
- 两根之积：$ \frac{3}{2} \times 1 = \frac{3}{2} $
结果一致，说明韦达定理是正确的。
四、总结
“两根之和”和“两根之积”的公式统称为韦达定理，它揭示了一元二次方程的根与系数之间的关系。掌握这一知识可以帮助我们在不求根的情况下快速判断方程的性质，或用于构造满足特定条件的方程。
通过表格形式可以更清晰地理解这些公式的意义和用途。希望本文能帮助你更好地理解和应用这一重要的数学工具。