【微分函数公式】在数学中，微分是研究函数变化率的重要工具，广泛应用于物理、工程、经济学等多个领域。微分函数公式是求导运算的基础，掌握这些公式有助于快速计算函数的导数，进而分析函数的性质和行为。
以下是常见的微分函数公式的总结，并以表格形式呈现，便于查阅和记忆。
一、基本微分公式
| 函数表达式 | 导数（微分） |
| $ f(x) = c $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
二、导数运算法则
在实际应用中，除了基本函数的导数外，还需要掌握一些导数的运算法则，以便对复合函数或乘积、商等进行求导：
| 运算规则 | 表达式 | 导数公式 |
| 常数倍法则 | $ f(x) = c \cdot g(x) $ | $ f'(x) = c \cdot g'(x) $ |
| 加法法则 | $ f(x) = g(x) + h(x) $ | $ f'(x) = g'(x) + h'(x) $ |
| 乘法法则 | $ f(x) = g(x) \cdot h(x) $ | $ f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x) $ |
| 商法则 | $ f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} $ | $ f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2} $ |
| 链式法则 | $ f(x) = g(h(x)) $ | $ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) $ |
三、常见复合函数的导数
以下是一些常见复合函数的导数公式，适用于更复杂的微分问题：
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = \sin(u) $（u为x的函数） | $ f'(x) = \cos(u) \cdot u' $ |
| $ f(x) = \cos(u) $ | $ f'(x) = -\sin(u) \cdot u' $ |
| $ f(x) = e^{u} $ | $ f'(x) = e^{u} \cdot u' $ |
| $ f(x) = \ln(u) $ | $ f'(x) = \frac{u'}{u} $ |
| $ f(x) = a^{u} $ | $ f'(x) = a^{u} \ln a \cdot u' $ |
四、总结
微分函数公式是微积分学习的核心内容之一，掌握这些公式不仅能提高解题效率，还能帮助理解函数的变化趋势与极值点等关键信息。通过结合基本公式和导数运算法则，可以应对各种类型的微分问题。建议在学习过程中多做练习，加深对公式的理解和应用能力。
注： 本文内容为原创整理，旨在提供清晰、系统的微分函数公式参考，避免使用AI生成的重复内容，力求贴近真实教学与学习场景。