【代数余子式是什么】代数余子式是线性代数中的一个重要概念，主要用于计算行列式以及矩阵的逆等操作。它是通过去掉某一行一列后得到的子式，并根据其位置乘以一个符号因子而得到的。下面将对代数余子式的定义、作用及计算方法进行总结，并通过表格形式清晰展示。
一、代数余子式的定义
设 $ A = (a_{ij}) $ 是一个 $ n \times n $ 的方阵，$ a_{ij} $ 是矩阵中第 $ i $ 行第 $ j $ 列的元素。
则对于元素 $ a_{ij} $，其对应的代数余子式（Cofactor）记为 $ C_{ij} $，定义如下：
$$
C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}
$$
其中，$ M_{ij} $ 是去掉第 $ i $ 行和第 $ j $ 列后得到的 $ (n-1) \times (n-1) $ 子矩阵的行列式，称为余子式。
二、代数余子式的作用
1. 计算行列式：利用展开定理，可以按行或按列展开行列式。
2. 求矩阵的逆：矩阵的逆可以通过伴随矩阵（即代数余子式矩阵的转置）来计算。
3. 解决线性方程组：在克莱姆法则中，代数余子式用于求解线性方程组的解。
三、代数余子式的计算步骤
1. 确定目标元素 $ a_{ij} $。
2. 去掉第 $ i $ 行和第 $ j $ 列，得到余子式矩阵。
3. 计算该余子式矩阵的行列式 $ M_{ij} $。
4. 根据位置 $ i, j $，计算符号因子 $ (-1)^{i+j} $。
5. 将符号因子与余子式相乘，得到代数余子式 $ C_{ij} $。
四、代数余子式总结表
| 概念 | 定义 | 公式 | 说明 |
| 代数余子式 | 元素 $ a_{ij} $ 对应的代数余子式 | $ C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij} $ | 由余子式与符号因子构成 |
| 余子式 | 去掉第 $ i $ 行第 $ j $ 列后的子矩阵行列式 | $ M_{ij} = \det(A_{ij}) $ | 不考虑符号，仅计算子行列式 |
| 符号因子 | 决定代数余子式正负的系数 | $ (-1)^{i+j} $ | 与元素位置有关，奇偶决定正负 |
| 应用 | 行列式计算、矩阵逆、克莱姆法则等 | - | 是线性代数中基础工具 |
五、示例说明
假设有一个 3×3 矩阵：
$$
A =
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{bmatrix}
$$
求 $ a_{11} $ 的代数余子式 $ C_{11} $：
1. 去掉第一行第一列，得到子矩阵：
$$
M_{11} =
\begin{bmatrix}
5 & 6 \\
8 & 9 \\
\end{bmatrix}
$$
2. 计算余子式 $ M_{11} = 5 \cdot 9 - 6 \cdot 8 = 45 - 48 = -3 $
3. 计算符号因子 $ (-1)^{1+1} = 1 $
4. 所以 $ C_{11} = 1 \cdot (-3) = -3 $
六、小结
代数余子式是线性代数中非常重要的一个概念，它不仅用于计算行列式，还广泛应用于矩阵求逆、克莱姆法则等多个领域。理解代数余子式的定义和计算方式，有助于更深入地掌握矩阵运算的基本原理。