【伴随矩阵的定义】在矩阵理论中，伴随矩阵（Adjugate Matrix）是一个重要的概念，尤其在求解逆矩阵、行列式以及线性方程组等方面具有广泛的应用。伴随矩阵是通过原矩阵的代数余子式构造而成的，它与原矩阵之间存在密切的数学关系。
一、伴随矩阵的基本定义
对于一个 $ n \times n $ 的方阵 $ A = (a_{ij}) $，其伴随矩阵（记作 $ \text{adj}(A) $）是由该矩阵的代数余子式组成的转置矩阵。
具体来说，伴随矩阵的第 $ i $ 行第 $ j $ 列元素为 $ A_{ji} $，其中 $ A_{ji} $ 是原矩阵 $ A $ 中去掉第 $ j $ 行第 $ i $ 列后得到的 $ (n-1) \times (n-1) $ 子矩阵的行列式，再乘以符号因子 $ (-1)^{i+j} $。
即：
$$
\text{adj}(A) = \begin{bmatrix}
A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\
A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}
\end{bmatrix}
$$
其中，$ A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij} $，$ M_{ij} $ 是 $ A $ 中去掉第 $ i $ 行第 $ j $ 列后的余子式。
二、伴随矩阵的重要性质
| 性质 | 描述 |
| 1 | $ A \cdot \text{adj}(A) = \text{adj}(A) \cdot A = \det(A) \cdot I_n $ |
| 2 | 若 $ A $ 可逆，则 $ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) $ |
| 3 | $ \text{adj}(A^T) = (\text{adj}(A))^T $ |
| 4 | $ \text{adj}(AB) = \text{adj}(B) \cdot \text{adj}(A) $ |
| 5 | 若 $ A $ 是对称矩阵，则 $ \text{adj}(A) $ 也是对称矩阵 |
三、伴随矩阵的计算方法
1. 计算每个元素的代数余子式：对于每个元素 $ a_{ij} $，计算其对应的代数余子式 $ A_{ij} $。
2. 构造余子式矩阵：将所有代数余子式按原位置排列，形成一个 $ n \times n $ 的矩阵。
3. 转置矩阵：将上述余子式矩阵进行转置，得到最终的伴随矩阵。
四、示例说明
设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $
1. 计算各元素的代数余子式：
- $ A_{11} = +4 $
- $ A_{12} = -3 $
- $ A_{21} = -2 $
- $ A_{22} = +1 $
2. 构造余子式矩阵：
$$
\begin{bmatrix}
4 & -3 \\
-2 & 1
\end{bmatrix}
$$
3. 转置后得到伴随矩阵：
$$
\text{adj}(A) = \begin{bmatrix}
4 & -2 \\
-3 & 1
\end{bmatrix}
$$
验证：
$$
A \cdot \text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} = \det(A) \cdot I_2
$$
五、总结
伴随矩阵是矩阵理论中的核心概念之一，主要用于求解矩阵的逆和理解矩阵的代数结构。通过计算每个元素的代数余子式并进行转置，可以得到伴随矩阵。掌握伴随矩阵的定义与性质，有助于更深入地理解矩阵运算及其应用。